Arieh Iserles's Acta numérica 1994 - Volume 3 PDF

By Arieh Iserles

ISBN-10: 0521461812

ISBN-13: 9780521461818

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Damit ist gezeigt, daß die im zweiten Teil von Satz 2. I5 genannten Zahlen ~0 wirklich die dort behauptete Eigenschaft haben; daß das aber auch nur für sie gelten kann, lehrt Satz 2. I6. 111. Der zweite Teil von Satz 2. 15 läßt sich unter Vorwegnahme des Inhalts von§ 17 auch so formulieren, daß für alle und nur die mit 1 ~ V5 = [1, I, 1, .. ] äquivalenten Zahlen der Faktor V5 des ersten Teils nicht vergrößert werden kann. Analog läßt sich, wie ohne Beweis bemerkt sei, der Satz 2. I6 dahin ergänzen, daß für alle und nur die mit I + V2 = [2, 2, 2, ...

A Im Text ist nur deshalb ). um eine Einheit verringert, weil sich dann die Formeln des ersten Kapitels ohne Änderung anwenden lassen. 33 § 12. _1Av-1,). _2Bv-1,). -1. Da B;. mit I. über alle Grenzen wächst, so ist damit die Konvergenz bewiesen und wir können setzen : [bo, b1, b2, ... : b0 • Um nun noch die Irrationalität von ~ 0 nachzuweisen, sei analog wo dan>J. auch ~;. , b,\+1' b-'+2' ... ] = ~). (I. = l, 2, 3, ... ) ' 2 b;. > l ist. Dann ergibt sich wieder (Regel A, S. 23): [b t: coo= woraus folgt: B ~ o' - A A-1 0 b 1, ...

21 angegebene Eigenschaft die "Näherungen" völlig charakterisiert. Wir beweisen nämlich jetzt die Umkehrung von Satz 2. : Satz 2. 22. Wenn ein Bruch zwischen dann ist ~ mit positivem Nenner von der Art ist, daß jeder ~0 und ~ fallende Bruch einen Nenner hat, der absolut größer als Q ist, ~ einem Haupt- oder Nebennäherungsbruch von ~0 gleich. Beweis. Wenn ~ keiner Näherung gleich ist, also weder der Serie (2) noch (3) Fälle~ < ~0 und~ > ~0 zu unterscheiden. Für angehört, so sind zunächst die ~ < ~0 muß~ entweder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Brüchen der Serie (2) liegen, oder aber kleiner als der erste sein: ~ < ~: .

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Acta numérica 1994 - Volume 3 by Arieh Iserles


by Joseph
4.4

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