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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

ISBN-10: 3540520066

ISBN-13: 9783540520061

ISBN-10: 3642972179

ISBN-13: 9783642972171

Das Buch ist entstanden aus Vorlesungen an der Technischen Universität München und umfaßt den kanonischen Stoff der ersten 1-2 Semester an deutschen Universitäten. Hinzu kommen einfache Differentialgleichungen, eine Einführung in die Fourierreihen, eine systematische Behandlung der Gammafunktion sowie ein größeres Kapitel über differenzierbare Kurven. Unter den zahlreichen Anwendungen finden sich einige Perlen der elementaren research: der Beweis von Niven für die Irrationalität von +, die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen difficulties für den Kreis, Bernoulli-Polynome und die Eulerschen Formeln für (2n). Die numerische Seite der research wird wiederholt angesprochen. Sehr viel Wert wurde auf Beispiele sowie auf sachbezogene Motivationen gelegt; die Exponentialfunktion etwa wird als Lösung einer Wachstumsaufgabe eingeführt. Jedem Kapitel sind einfache und weiterführende Aufgaben beigefügt. Mehr als a hundred Abbildungen veranschaulichen die Darstellung. Zahlreiche historische Anmerkungen ergänzen den Text.

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3 Monotone Folgen a) folgt aus . ;n+T . ,fii und b) aus ( Pn+I Pn ) 4n 3 + 12n2 + 12n + 4 3 2 > 1. ,fii - PI =2 . Mithin besitzt die Folge (fo) v'2 ::; P ::; 2. einen Grenzwert P mit 0 Bemerkung: Die Berechnung von P fiihrt man iiblicherweise zuruck auf die Berechnung des Grenzwertes der Wallisschen Produktfolge 2n . 2n 2 . 2 4· 4 Wn : 2 = 1 . 3 . 3 . 5 ..... (2n - 1 )(2n + 1) = Pn . 1 2n + 1 . ,fii· Es ist niimlich (2n)! 22n ( 2n) n - (2·4·6· ... · 2n)2 I(t) I = 1 . 3 . 5 ..... (2n - 1) . 22n 22n = 2·4·6· ...

Zum Beweis sei ([an, bnJ) eine Intervallschachtelung. Dann ist (an) eine Cauchy-Folge. Zu e > 0 gibt es namlich ein N mit bN - aN < e, und wegen am,a n E [aN,bNl fur alle m, n > N folgt lam - ani < e. Sei dann s : = lim an. Da (an) monoton wachst, gilt an ~ s fur alle n; und da ak ~ bn fur alle k, n, folgt weiter s ~ bn fur aIle n. s ist also eine Zahl, die in allen [an, bnl liegt. Wir erhalten damit folgende SchluBkette: Intervallschachtelungsprinzip (V) J). Satz von Bolzano-WeierstraB J). Cauchy-Kriterium J).

Bilden an = n und bn = n + 1 asymptotisch gleiche divergente Folgen. 1 Beispiel: fur n 2y'n ~ 00. 3 Monotone Folgen Eine Folge (an) heiBt beschriinkt, wenn es eine Zahl s gibt, so daB fiir alle Glieder lanl ~ s gilt. Jede konvergente Folge ist beschriinkt. Zum Beweis seien a der Grenzwert und N ein Index mit Ian - al < 1 fiir n > Nj dann gilt lanl ~ s : = max {Ial + 1, lall, ... , laNI} fiir aIle n. Die Beschriinktheit reicht keineswegs zur Konvergenz, wie die Folge an = (_l)n zeigt. Sie reicht jedoch bei monotonen Folgen.

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Analysis 1 by Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)


by Jeff
4.2

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